La musique peut délivrer l'essentiel de ses structures et notes grâce à l'apport des mathématiques. Explications avec Brahim Marzouki. ALM : Lorsque vous proposez de comprendre la musique par les mathématiques, ne pensez –vous pas qu'une large tranche des musiciens ne peut suivre votre logique ? Brahim Marzouki : Tout dépend de l'approche. Est–elle intuitive ou raisonnée ? Comme application, on peut par exemple déterminer les positions correctes des notes musicales sur le manche d'un luth. Lorsqu'on entend la musique attentivement, on s'aperçoit qu'il y a un certain ordre et une certaine logique qui entraînent une sensation agréable. La matière première de la musique est le son qui est une onde acoustique transmise par l'air et qui fait vibrer le tympan, le son est connu en particulier par sa fréquence. L'étude scientifique de la musique revient à l'étude mathématique des relations entre les fréquences des notes musicales émises successivement ou simultanément (accords). L'oreille humaine est de nature sensible aux rapports de fréquences entre deux sons émis successivement et non à leurs différences. Ne s'agit-il pas là d'une sorte de logarithme naturel ? Elle l'est par excellence. L'oreille transforme la différence en rapport. Plus le rapport entre deux fréquences est simple, plus l'oreille le détecte facilement. (Un rapport mathématique est dit simple lorsqu'il s'écrit sous la forme n+1/n , avec n un entier naturel et que le PPMC (n+1,n) est relativement proche de n+1). Les rapports simples les plus consonants sont (en ordre décroissant de consonance ) : 2/1 (octave), 3/2 (quinte), 4/3 (quarte), d'ailleurs la construction de la gamme naturelle dite de Pythagore est basée sur la superposition des intervalles de quintes ascendantes ou descendantes. Ce processus de quintes ne se renferme jamais puisque ceci signifie qu'il existe deux entiers n et p tel que 3^n =2^p. Or, cette équation n'admet pas de solutions dans N. On arrête alors le processus à un certain degré. Cette gamme naturelle peut être retrouvée mathématiquement de la manière suivante : en se basant sur l'axiome de l'octave qui dit que les sons de fréquences f et 2f sont équivalents pour l'oreille humaine, on peut donner une définition mathématique à une note musicale: c'est une classe d'équivalence d'une fréquence donnée, par exemple la note musicale LA du diapason correspond à une fréquence de 440 Hz, donc la note de fréquence 880 Hz s'appelle encore la note LA, de même pour 220 Hz, 110 Hz, 1760 Hz etc. Donc cette définition nous permet de modéliser mathématiquement le problème de la construction des gammes musicales puisqu'une « musique» n'utilisant pas de gamme devient un tâtonnement. Dans la gamme naturelle, le complémentaire par rapport au ton du demi-ton diatonique est-il demi-ton chromatique et quelle est sa valeur ? Bien sûr il en a une et elle est (9/8) ÷ (256/243) = 2187/2048. La différence entre ces deux types d'intervalles s'appelle le comma Pythagoricien, sa valeur est (2187/2048) ÷ (256/243) = 531441/524288 ≈ 74/73. C'est un intervalle à peine audible pour une oreille très exercée. A titre d'exemple, les notes FA# et SOLb sont séparées par un intervalle de comma (la fréquence de FA# est supérieure à la fréquence de SOLb ). Ce comma est à la base de la distinction que l'on peut remarquer par exemple entre la musique arabe et turque. Cette distinction provient de la manière avec laquelle on manipule ce comma et de celle avec laquelle on fabrique l'intervalle appelé quart de ton qui enrichit ces musiques d'un point de vu mélodie.
